Minggu, 11 Januari 2009
BENTUK ALJABAR
A. BENTUK ALJABAR
1. Pengertian Bentuk ALjabar
Perhatikan pernyataan berikut ini
8x2 + 5x2 - x + 9
Lambing x menyatakan variabel (peubah). Nilai 8 pada x2, 5 pada x2, -1 pada x dinamakan koefisien, sedangkan nilai 9 dinamakan konstanta. Lambang 1x biasanya ditulis (x) dan -1x biasanya ditulis (-x). Pernyataan itu disebut bentuk aljabar.
Dengan demikian dapat dikemukakan bahwa suatu bentuk aljabar adalah suatu konstanta, suatu peubah, atau suatu bentuk yang melibatkan konstanta dan peubah disertai sejumlah berhingga operasi aljabar.
2. Faktor, Suku, dan Suku-Suku Sejenis
a. Faktor
Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan riil dan a = b x c, maka b dan c dinamakan faktor-faktor dari a.
b. Suku
Bilamana suatu bentuk aljabar dituliskan sebagai jumlah dari beberapa bentuk aljabar lainnya, maka setiap bentuk tersebut dinamakan suku dari bentuk aljabar yang diberikan. Sesuatu bentuk aljabar yang tidak dihubungkan dengan operasi penjumlahan disebut suku tunggal.
c. Suku-Suku Sejenis
Suku-suku pada suatu bentuk ajlabar yang perbedaannya hanya terletak pada koefisiennya dinamakan suku-suku sejenis.
3. Operasi Hitung Suku Sejenis dan Tidak Sejenis
a. Perkalian suatu Konstanta dengan Suku Banyak
1) a (b x c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
2) a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
Operasi di atas menggunakan sifat distributif yang dapat digunakan pada operasi perkaliansuatu konstanta dengan bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.
b. Mensubtitusikan Bilangan pada Variabel dari suatu Suku Banyak
Perhatikanlah suku banyak 3x + 5x. Jika variabel x diganti 9 dan y diganti dengan -4, maka diperoleh: 3x + 5y = 3(9) + 5(-4) = 27 – 20 = 7. Proses mengganti peybah pada suku banyak tadi dengan bilangan disebut proses subtitusi (mengganti).
c. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis dan Tidak Sejenis
Pada operasi penjumlahan dapat dipergunakan sifat-sifat sebagai berikut:
1) Sifat komutatif : a + b = b + a
2) Sifat asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
3) Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan
a (b + c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
4) Mengurangkan b dan a sama artinya dengan menambahkan lawan (invers aditif) b pada a dengan demikian , a – b = a + (-b).
4. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
a. Perkalian Suatu Bilangan denagn Suku Dua dan Suku Tiga
1) Sifat komutatif : a b = ba
2) Sifat asosiatif : a (bc) = (ab)c
3) Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan
a (b + c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
b. Perkalian Sukui Dua dengan Suku Dua
Sifat perkalian yang digunakan dalam perkalian suku dua dengan suku dua adalah sifat distribitif, yaitu (a + b) (c + d) = ac + ad +bc + bd
B. PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal
Menentukan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari bentuk-bentuk aljabar dapat dilakukan dengan faktorisasi prima, yaitu memfaktorkan bentuk-bentuk aljabar atas faktor-faktor primanya. Misalnya 12xy, faktor-faktor primanya adalah 2, 3, x, dan y (x dan y adalah bilangan yang tepat memiliki dua buah faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri).
KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dengan pangkat tertinggi, sedangkan FPB adalah hasil perkalian dari faktor yang sama dengan pangkat terendah.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
Jika dua pecahan memiliki penyebut sama dan pada keduanya dikenakan operasi aljabar (penjumlahan dan pengurangan), maka hasil kali operasi aljabar dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau menurangkan pembilang pecahan-pecahan itu.
a) c)
b)
Jika dua pecahan yang penyebutnya tidak sama, maka diubah terlebih dahulu menjadi pecahan-pecahan yang penyebutnya sama. Untuk penyamaan penyebut dapat digunakan konsep sebagai berikut:
a) pq ≠ 0
b) pq ≠ 0
c) pqr ≠ 0
b. Perkalian, Pembagian, dan pangkat pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
1. Perkalian
a) pqr ≠ 0
b)
c)
2. Pembagian
3. Perpangkatan
3. Penggunaan Aljabar dalam Aritmetika Sosial
a. Nilai Keseluruhandan Nilai Per Unit
1) Nilai keseluruhan = banyak unit × Nilai per unit
2) Nilai per unit =
3) Banyak unit =
b. Harga Beli, Harga Jual, Laba, dan Rugi
Laba = harga jual – harga beli
Rugi = harga beli – harga jual
c. Persentase Laba atau Rugi Terhadap Harga Beli
1) Persentase Laba =
2) Persentase Rugi =
4. Rabat, Bruto, Tara, dan Netto
a. Rabat
Rabat atau sering kita kenal dengan istilah diskonadalah potongan harga yang diperoleh pada saat terjadinya transaksi jual beli. Rabat diberikan bertujuan untuk menarik minat pembeli.
b. Hubungan antara Bruto, Tara, dan Netto
Bruto, tara, dan netto adalah istilah-istilah yang berkaitan dengan berat barang. Bruto adalah berat kotor suatu barang yaitu berat bersih dan berat kemasan. Tara adalh potongan berat suatu barang, yaitu berat kemasan. Netto adalah berat bersih atau berat sebenarnya dari suatu barang.
Tara = Bruto – Netto
c. Persentase Tara Terhadap Bruto
Persentase Tara =
C LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)
1. Pengertian Perasamaan Linear Stu Variabel
Persamaan aljabar yang mencangkup hanya satu varianel (yang tidak diketahui) dengan pangkat pada variabelnya satu dinamakan persamaan linear satu variabel. Bentuk ax + b = 0 dengan a dab b adalah bilangan real maka bentuk tersebut dinamakan bentuk umum dari persamaan linear satu variabel.
2. Sifat-Sifat Persamaan Linear Satu Variabel
Misalnya E = F adalah suatu persamaan dengan variabel x. Jika G adalah suatu bentuk aljabar dalam x atau suatu konstanta tak nol, maka persamaan E = F ekuivalen dengan setiap persamaan berikut,
a) E + G = F + G
Bila kedua tuas suatu persamaan aljabar ditambah dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
b) E – G = F – G
Bila kedua ruas suatu persamaan aljabar dikurangi dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
c) E x G = F x G, G ≠ 0
Bila kedua ruas suatu persamaan aljabar dikalikan dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
d)
D. PENERAPAN KONSEP PLSV DALAM KEHIDUPAN
1. Contoh-Contoh Soal
1) Keliling persegi panjang adalah 110 cm. Carilah ukurannya apabila panjangnya 5 cm lebih kecil dua kali lebarnya
Penyelesaian:
Misal lebar persegi panjang = x cm, maka panjangnya = (2x-5) cm.
Keliling persegi panjang = 2 (panjang + lebar)
110 = 2{(2x - 5) + x}
55 = 3x – 5
55 + 5 = 3x
3x = 60
X = 60 : 3 = 20
2) Seorang Ayah umurnya 24 tahun lebih tua dari umur anaknya. Dalam 8 tahun umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!
Penyelesaian:
Misal umur anaknya sekarang = x tahun, maka umur ayahnya = (x + 24).
(x + 24) + 8 = 2 (x + 8)
x + 32 = 2x + 16
- x = -16
x = 16
jadi umur anaknya 16 tahun dan umur ayahnya = 16 + 24 = 40 tahun.
E. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
1. Pengertian Pertidaksamaan
Suatu pernyataan tentang bilangan riil a dan b yang berbetuk
a < b dibaca “a kurang dari b”
a > b dibaca “a lebih dari b”
a ≤ b dibaca “a lebih kurang dari atau sama dengan b”
a ≥ b dibaca “a lebih atau sama dengan b”
dinamakan pertidaksamaan.
2. Sifat-Sifat Penting Pertidaksamaan
1) Sifat Refleksi
2) Sifat Transitif
3) Sifat Antisimetris
3. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Sebuah pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan atau pernyataan yang lebih dari atau kurang dari pernyataan lainnya.
4. Pertidaksamaan Linear Satu Varabel (PtLSV) dalam Berbagai Bentuk dan Variabel
1) 3 (y – 1) + 4y ≤ 5 – y – 8
2) (z + 5) – 9 > 3z – 2 (z + 3)
3)
4) 5 – 2 {3 – (p – 1)} < p – {1 – 2 (p – 4)}
5. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
a) Contoh Soal
1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 3x – 5 ≤ 1
a. jika x bilangan real b. Jika x bilangan cacah
penyelesaian :
3x – 5 ≤ 1
3x ≤ 1 + 5
3x ≤ 6
x ≤
x ≤ 2
Jadi, a. Jika x bilangan real maka penyelesaiannya x ≤ 2
b. Jika x bilangan cacah maka penyelesaiannya x ≤
F. PERBANDINGAN
1. Gambar Berskala
a. Panjang pada gambar = 8 cm : 400 m = 8 cm : 40.000 cm = 1 : 5.000
Apabila hg adalah ukuran panjang pada gambar, hs ukuran panjang sebenarnya, dan S adalah skala, maka dapat dirumuskan bahwa:
atau atau atau S = hg : hs
2. Perbandingan Seharga
Contoh Soal
Misalkan harga 20 m2 karpet adalah Rp. 1.080.000. berapa luas karpet yang dapat diperoleh dengan uang sebesar Rp. 6.750.000 ?
Penyelesaian :
Harga karpet per m2 adalah = Rp. 54.000.
Dengan uang sebesar Rp. 6.750.000 dapat diperoleh karpet seluas = 125 m2. Jadi karpet yang diperoleh seluas 125 m2
3. Perbandingan Berbalik Harga
a. Untuk menentukan Kecepatan,
b. Untuk menghitung jarak,
c. Untuk menentukan waktu,
Contoh Soal
1) Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan tetap selama 4 jam dan menempuh jarak 244 km, carilah kecepatan mobil tersebut!
Penyelesian :
t = 4 jam
s = 244 km
maka km/jam
1. Pengertian Bentuk ALjabar
Perhatikan pernyataan berikut ini
8x2 + 5x2 - x + 9
Lambing x menyatakan variabel (peubah). Nilai 8 pada x2, 5 pada x2, -1 pada x dinamakan koefisien, sedangkan nilai 9 dinamakan konstanta. Lambang 1x biasanya ditulis (x) dan -1x biasanya ditulis (-x). Pernyataan itu disebut bentuk aljabar.
Dengan demikian dapat dikemukakan bahwa suatu bentuk aljabar adalah suatu konstanta, suatu peubah, atau suatu bentuk yang melibatkan konstanta dan peubah disertai sejumlah berhingga operasi aljabar.
2. Faktor, Suku, dan Suku-Suku Sejenis
a. Faktor
Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan riil dan a = b x c, maka b dan c dinamakan faktor-faktor dari a.
b. Suku
Bilamana suatu bentuk aljabar dituliskan sebagai jumlah dari beberapa bentuk aljabar lainnya, maka setiap bentuk tersebut dinamakan suku dari bentuk aljabar yang diberikan. Sesuatu bentuk aljabar yang tidak dihubungkan dengan operasi penjumlahan disebut suku tunggal.
c. Suku-Suku Sejenis
Suku-suku pada suatu bentuk ajlabar yang perbedaannya hanya terletak pada koefisiennya dinamakan suku-suku sejenis.
3. Operasi Hitung Suku Sejenis dan Tidak Sejenis
a. Perkalian suatu Konstanta dengan Suku Banyak
1) a (b x c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
2) a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
Operasi di atas menggunakan sifat distributif yang dapat digunakan pada operasi perkaliansuatu konstanta dengan bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.
b. Mensubtitusikan Bilangan pada Variabel dari suatu Suku Banyak
Perhatikanlah suku banyak 3x + 5x. Jika variabel x diganti 9 dan y diganti dengan -4, maka diperoleh: 3x + 5y = 3(9) + 5(-4) = 27 – 20 = 7. Proses mengganti peybah pada suku banyak tadi dengan bilangan disebut proses subtitusi (mengganti).
c. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis dan Tidak Sejenis
Pada operasi penjumlahan dapat dipergunakan sifat-sifat sebagai berikut:
1) Sifat komutatif : a + b = b + a
2) Sifat asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
3) Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan
a (b + c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
4) Mengurangkan b dan a sama artinya dengan menambahkan lawan (invers aditif) b pada a dengan demikian , a – b = a + (-b).
4. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
a. Perkalian Suatu Bilangan denagn Suku Dua dan Suku Tiga
1) Sifat komutatif : a b = ba
2) Sifat asosiatif : a (bc) = (ab)c
3) Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan
a (b + c) = (a x b) + (a x c) = ab + ac
a (b – c) = (a x b) – (a x c) = ab – ac
b. Perkalian Sukui Dua dengan Suku Dua
Sifat perkalian yang digunakan dalam perkalian suku dua dengan suku dua adalah sifat distribitif, yaitu (a + b) (c + d) = ac + ad +bc + bd
B. PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal
Menentukan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari bentuk-bentuk aljabar dapat dilakukan dengan faktorisasi prima, yaitu memfaktorkan bentuk-bentuk aljabar atas faktor-faktor primanya. Misalnya 12xy, faktor-faktor primanya adalah 2, 3, x, dan y (x dan y adalah bilangan yang tepat memiliki dua buah faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri).
KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dengan pangkat tertinggi, sedangkan FPB adalah hasil perkalian dari faktor yang sama dengan pangkat terendah.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
Jika dua pecahan memiliki penyebut sama dan pada keduanya dikenakan operasi aljabar (penjumlahan dan pengurangan), maka hasil kali operasi aljabar dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau menurangkan pembilang pecahan-pecahan itu.
a) c)
b)
Jika dua pecahan yang penyebutnya tidak sama, maka diubah terlebih dahulu menjadi pecahan-pecahan yang penyebutnya sama. Untuk penyamaan penyebut dapat digunakan konsep sebagai berikut:
a) pq ≠ 0
b) pq ≠ 0
c) pqr ≠ 0
b. Perkalian, Pembagian, dan pangkat pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
1. Perkalian
a) pqr ≠ 0
b)
c)
2. Pembagian
3. Perpangkatan
3. Penggunaan Aljabar dalam Aritmetika Sosial
a. Nilai Keseluruhandan Nilai Per Unit
1) Nilai keseluruhan = banyak unit × Nilai per unit
2) Nilai per unit =
3) Banyak unit =
b. Harga Beli, Harga Jual, Laba, dan Rugi
Laba = harga jual – harga beli
Rugi = harga beli – harga jual
c. Persentase Laba atau Rugi Terhadap Harga Beli
1) Persentase Laba =
2) Persentase Rugi =
4. Rabat, Bruto, Tara, dan Netto
a. Rabat
Rabat atau sering kita kenal dengan istilah diskonadalah potongan harga yang diperoleh pada saat terjadinya transaksi jual beli. Rabat diberikan bertujuan untuk menarik minat pembeli.
b. Hubungan antara Bruto, Tara, dan Netto
Bruto, tara, dan netto adalah istilah-istilah yang berkaitan dengan berat barang. Bruto adalah berat kotor suatu barang yaitu berat bersih dan berat kemasan. Tara adalh potongan berat suatu barang, yaitu berat kemasan. Netto adalah berat bersih atau berat sebenarnya dari suatu barang.
Tara = Bruto – Netto
c. Persentase Tara Terhadap Bruto
Persentase Tara =
C LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)
1. Pengertian Perasamaan Linear Stu Variabel
Persamaan aljabar yang mencangkup hanya satu varianel (yang tidak diketahui) dengan pangkat pada variabelnya satu dinamakan persamaan linear satu variabel. Bentuk ax + b = 0 dengan a dab b adalah bilangan real maka bentuk tersebut dinamakan bentuk umum dari persamaan linear satu variabel.
2. Sifat-Sifat Persamaan Linear Satu Variabel
Misalnya E = F adalah suatu persamaan dengan variabel x. Jika G adalah suatu bentuk aljabar dalam x atau suatu konstanta tak nol, maka persamaan E = F ekuivalen dengan setiap persamaan berikut,
a) E + G = F + G
Bila kedua tuas suatu persamaan aljabar ditambah dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
b) E – G = F – G
Bila kedua ruas suatu persamaan aljabar dikurangi dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
c) E x G = F x G, G ≠ 0
Bila kedua ruas suatu persamaan aljabar dikalikan dengan suatu bentuk aljabar atau suatu konstanta tak nol, maka diperoleh persamaan aljabar baru yang ekuivalen dengan persamaan aljabar semula.
d)
D. PENERAPAN KONSEP PLSV DALAM KEHIDUPAN
1. Contoh-Contoh Soal
1) Keliling persegi panjang adalah 110 cm. Carilah ukurannya apabila panjangnya 5 cm lebih kecil dua kali lebarnya
Penyelesaian:
Misal lebar persegi panjang = x cm, maka panjangnya = (2x-5) cm.
Keliling persegi panjang = 2 (panjang + lebar)
110 = 2{(2x - 5) + x}
55 = 3x – 5
55 + 5 = 3x
3x = 60
X = 60 : 3 = 20
2) Seorang Ayah umurnya 24 tahun lebih tua dari umur anaknya. Dalam 8 tahun umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!
Penyelesaian:
Misal umur anaknya sekarang = x tahun, maka umur ayahnya = (x + 24).
(x + 24) + 8 = 2 (x + 8)
x + 32 = 2x + 16
- x = -16
x = 16
jadi umur anaknya 16 tahun dan umur ayahnya = 16 + 24 = 40 tahun.
E. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
1. Pengertian Pertidaksamaan
Suatu pernyataan tentang bilangan riil a dan b yang berbetuk
a < b dibaca “a kurang dari b”
a > b dibaca “a lebih dari b”
a ≤ b dibaca “a lebih kurang dari atau sama dengan b”
a ≥ b dibaca “a lebih atau sama dengan b”
dinamakan pertidaksamaan.
2. Sifat-Sifat Penting Pertidaksamaan
1) Sifat Refleksi
2) Sifat Transitif
3) Sifat Antisimetris
3. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Sebuah pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan atau pernyataan yang lebih dari atau kurang dari pernyataan lainnya.
4. Pertidaksamaan Linear Satu Varabel (PtLSV) dalam Berbagai Bentuk dan Variabel
1) 3 (y – 1) + 4y ≤ 5 – y – 8
2) (z + 5) – 9 > 3z – 2 (z + 3)
3)
4) 5 – 2 {3 – (p – 1)} < p – {1 – 2 (p – 4)}
5. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
a) Contoh Soal
1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 3x – 5 ≤ 1
a. jika x bilangan real b. Jika x bilangan cacah
penyelesaian :
3x – 5 ≤ 1
3x ≤ 1 + 5
3x ≤ 6
x ≤
x ≤ 2
Jadi, a. Jika x bilangan real maka penyelesaiannya x ≤ 2
b. Jika x bilangan cacah maka penyelesaiannya x ≤
F. PERBANDINGAN
1. Gambar Berskala
a. Panjang pada gambar = 8 cm : 400 m = 8 cm : 40.000 cm = 1 : 5.000
Apabila hg adalah ukuran panjang pada gambar, hs ukuran panjang sebenarnya, dan S adalah skala, maka dapat dirumuskan bahwa:
atau atau atau S = hg : hs
2. Perbandingan Seharga
Contoh Soal
Misalkan harga 20 m2 karpet adalah Rp. 1.080.000. berapa luas karpet yang dapat diperoleh dengan uang sebesar Rp. 6.750.000 ?
Penyelesaian :
Harga karpet per m2 adalah = Rp. 54.000.
Dengan uang sebesar Rp. 6.750.000 dapat diperoleh karpet seluas = 125 m2. Jadi karpet yang diperoleh seluas 125 m2
3. Perbandingan Berbalik Harga
a. Untuk menentukan Kecepatan,
b. Untuk menghitung jarak,
c. Untuk menentukan waktu,
Contoh Soal
1) Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan tetap selama 4 jam dan menempuh jarak 244 km, carilah kecepatan mobil tersebut!
Penyelesian :
t = 4 jam
s = 244 km
maka km/jam
Send "Pray" Ringtone to your Cel 
1 komentar: